Momento de una fuerza

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje.

Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos  momento de la fuerza.

Entonces, se llama  momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto. 

 

El momento de una fuerza  es, matemáticamente,  igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro.

Expresada como ecuación, la fórmula es:

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M = F • d

 

Donde M es momento

F = fuerza aplicada

d = distancia al eje de giro

El momento se expresa en unidades de fuerza-distancia, se mide comúnmente en Newton metro (Nm).

 

Magnitud:

La magnitud del producto cruz se define con la ecuación como MO= rF sen ɵ, donde el ángulo ɵ se mide entre las colas de r y F. Para establecer este ángulo, se debe tratar a r como un vector deslizante, de manera que _ se pueda construir correctamente; figura. Como el brazo de momento d = r sen ɵ, entonces

 

Mo= r.F.senΘ=F(r.senΘ) = F.d​

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Dirección: La dirección de Mo será especificada usando la "regla de la mano derecha". Para hacer esto, los dedos de la mano derecha son enrollados en forma tal que sigan el sentido de rotación que ocurriría si la fuerza pudiese rotar alrededor del punto O, en la figura. El pulgar señala entonces a lo largo del eje de momento de manera que da la dirección y el sentido del vector momento, que es hacia arriba y perpendicular al pIano sombreado que contiene a F y d. Como el producto cruz no obedece la ley conmutativa, es importante conservar el orden de r × f para producir el sentido correcto de la dirección para MO.

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Momento resultante de un sistema de fuerzas coplanares:

Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x-y, entonces el momento producido por cada fuerza con respecto al punto O estará dirigido a lo largo del eje z. En consecuencia, el momento resultante MRo del sistema puede ser determinado sumando simplemente los momentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que todos los vectores momento son colineales. Esta suma vectorial puede escribirse en forma simbólica como:

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1 + MRo = "L Fd

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Aquí, la flecha curva que va en sentido contrario al de las manecillas del reloj y trazada junto a la ecuación indica que, por la convención escalar de signos, el momento de cualquier fuerza será positivo si está dirigido a lo largo del eje + z, mientras que un momento negativo está dirigido a lo largo del eje -z.

 

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Producto cruz:

El momento de una fuerza F con respecto al punto O, o realmente con respecto al eje del momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y, puede expresarse por el producto cruz vectorial, a saber,

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Mo=r*F

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Aquí r representa un vector de posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F. Donde el momento Mo, al ser determinado por este producto cruz, tiene la magnitud y la dirección adecuada

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La operación del producto cruz se usa en tres dimensiones porque no se requiere la distancia perpendicular o el brazo de momento desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. Se  puede usar cualquier vector de posición r medido desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza F, Así,

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Mo = r1*f = r2*F = r3*F

 

Como F se puede aplicar en cualquier punto a lo largo de su línea de acción y aun así crear el mismo momento con respecto al punto O, entonces F puede considerarse un vector deslizante.

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Momento de una fuerza, formulación vectorial

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El momento de una fuerza F con respecto al punto O, o realmente con respecto al eje de momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O y a F, puede expresarse usando el producto cruz, es decir,

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Mo = r X F

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Aquí, r representa un vector posición trazado desde O hasta cualquier punto que se encuentre sobre la línea de acción de F. Mostraremos ahora que el momento Mo, al ser determinado por este producto cruz, tiene la magnitud y la dirección correctas.

 

 

Principio de transmisibilidad:

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El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.

Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción.

 

 

 

 

 

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Formulación vectorial cartesiana:

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Si establecemos ejes coordenados x, y, z, el vector posición, y el vector F pueden expresarse como vectores cartesianos

 

 

 

 

 

Donde

 rx, ry, rz representan las componentes x, y, z del vector de posición trazado desde el punto O hasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza

 

Fx, Fy, Fz representan las componentes x, y, z del vector fuerza.

 

Si se desarrolla el determinante.

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  Las tres componentes de momento representan los vectores. Por ejemplo, la componente i de MO puede determinarse a partir de los momentos de fx, Fy y Fz con respecto al eje x. La componente Fx no se  genera un momento o tendencia a girar con respecto al eje x puesto que esta fuerza es paralela al eje x. La línea de acción de Fy pasa por el punto B y entonces la magnitud del momento de Fy con respecto al punto A sobre el eje x es rzFy. Por la regla de la mano derecha, esta componente actúa en la dirección i negativa. De igual forma, Fz pasa por el punto C y por lo tanto aporta una componente de momento de ryFzi con respecto al eje. Así, (MO)x =(ryFz -rzFy). Se establezca las componentes j y k de MO de esta manera y demuestre que en realidad la forma desarrollada del determinante, representa el momento de la fuerza respecto del punto O. Una vez determinada MO observe que siempre será perpendicular al plano sombreado en azul que contiene los vectores r y F.

 

Considere ahora el producto cruz de dos vectores generales A y B que se expresan en forma vectorial cartesiana. Tenemos:

 

A X B = ( A) + A yj + Azk) X (B) + Byj + Bzk)

= AxBAi X i) + AxBy(i X j ) + A xBz(i X k)

+ AyBAj X i) + AyBy(j X j ) + AyBij X k )

+ A zBAk X i ) + A zBy( k X j ) + A zBz(k X k)

 

Al efectuar las operaciones de productos cruz y combinando términos resulta

 

AxB = (AyBz-AzBy)i - (AxBz-AzBx)j + (AxBy-AyBx)k

 

Esta ecuación puede escribirse también en una forma de determinante más compacta como:

 

 

 

 

 

 

Así, para encontrar el producto cruz de dos vectores cartesianos A y B cualesquiera, es necesario desarrollar un determinante cuya primera fila de elementos consiste en los vectores unitarios i, j Y k Y cuyas segunda y tercera filas representan las componentes x, y, z de los dos vectores A y B, respectivamente.

 

Un determinante con tres filas y tres columnas puede ser desarrollado usando tres menores, cada uno de los cuales es multiplicado por uno de los tres términos anotados en la primera fila. Hay cuatro elementos en cada menor, por ejemplo.

 

 

 

 

Por definición, esta notación representa los términos (AllA22 - Al2A21), lo cual es simplemente el producto de los dos elementos de la flecha inclinada hacia abajo y hacia la derecha (AllA22) menos el producto de los dos elementos de la flecha inclinada hacia abajo y hacia la izquierda (A12A21)' Para un determinante de 3 x 3,  los tres menores pueden ser generados de acuerdo con el siguiente esquema:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Al sumar los resultados y tomar nota de que el elemento j debe incluir el signo menos, se obtiene la forma desarrollada de A x B.

 

 

Momento resultante de un sistema de fuerzas

 

Si un sistema de fuerzas actúa sobre un cuerpo, el momento resultante de las fuerzas con respecto al punto O puede ser determinado mediante la adición vectorial que resulta de aplicaciones sucesivas de la ecuación. Esta resultante puede escribirse simbólicamente como:

 

 

 

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Si jalamos el cable Be con una fuerza F e n cualquier punto a lo largo del cable, el momento de esta fuerza con respecto a la base del poste en A será siempre el mismo. Esto es una consecuencia del principio de transmisibilidad. Observe que el brazo de momento, o la distancia perpendicular desde A hasta el cable,es rd, Y entonces MA = rdF. En tres dimensiones, esta distancia es a menudo difícil de determinar, por lo que usamos el producto vectorial cruz para obtener el momento en una manera más directa. Por ejemplo,

 

MA = rAB X F = rAe X F

 

Tal como se requiere, estos dos vectores están dirigidos desde el punto A hasta un punto sobre la línea de acción de la fuerza.

 

 

 

 

 

 

 

 

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Principio de momento

 

Un concepto usado a menudo en mecánica es el principio de momentos, al cual se le llama a veces teorema de Varignon ya que fue originalmente desarrollado por el matemático francés Varignon (1654-1722). Este principio establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto. La prueba se obtiene directamente de la ley distributiva del producto cruz. Para mostrar esto, considere la fuerza F y dos de sus componentes rectangulares, donde F = Fl + F2.

Tenemos

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Mo = r X Fl + r X F2 = r X (F1 + F2) = r X F

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Este concepto tiene importantes aplicaciones en la resolución de problemas y pruebas de los teoremas que siguen, ya que es a menudo más fácil determinar los momentos de las componentes de una fuerza que el momento de la propia fuerza.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Momento de una fuerza con respecto a un eje en específico

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Recuerde que cuando se calcula el momento de una fuerza con respecto a un punto, el momento y su eje son siempre perpendiculares al plano que contiene la fuerza y el brazo de momento. En algunos problemas es importante encontrar la componente de este momento a lo largo de un eje específico que pasa por el punto. Para resolver esto puede usarse un análisis escalar o vectorial.

 

En el momento de una fuerza F se va a determinar con respecto a un eje arbitrario al obtenerse la proyección del momento sobre el eje. Se tiene  en cuenta que la distancia da que es perpendicular tanto a la línea de acción de la fuerza como al eje, entonces el momento dela fuerza con respecto al eje puede determinarse a partir de una ecuación escalar. Observe que cuando la línea de acción de F interseca el eje, el momento de F con respecto al eje es igual a cero. Además, cuando la línea de acción de F es paralela al eje, el momento de F con respecto al eje es igual a cero. En tres dimensiones, debe usarse el triple producto vectorial. Aquí, ua es el vector unitario que especifica la dirección del eje y r es un vector de posición que está dirigido desde cualquier punto sobre el eje hacia cual quier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Si Ma se calcula como un escalar negativo, entonces el sentido de dirección de Ma es opuesto a ua.

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Análisis Escalar:

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Es la distancia perpendicular o brazo del momento desde el eje hasta la línea  acción de la fuerza es dy=d cosɵ. En el momento F respecto aleje y es:

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My=Fdy=f(d cosɵ).My

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Está dirigido a lo largo del eje y positivo. El momento es:

 

Ma = F.da

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Análisis Vectorial:

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La solución que se efectúa en dos pasos, de encontrar primero el momento de la fuerza con respecto a un punto sobre el eje y calcular luego la componente proyectada del momento con respecto al eje, también puede efectuarse mediante análisis vectorial. Aquí, el momento con respecto al punto O se determina primero con  :

Mo= rA X F

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Momento de un par de fuerzas

 

Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con direcciones opuestas, y están separadas por una distancia perpendicular d. Como la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es producir una rotación o tendencia a rotar en una dirección específica.

El momento producido por un par se denomina momento de par.

Podemos determinar su valor encontrando la suma de los momentos de ambas fuerzas del par con respecto a cualquier punto arbitrario.

 

 

 

Un momento de par es un vector lies decir, puede actuar en cualquier punto ya que M depende sólo del vector posición f dirigido entre las fuerzas y no de los vectores de posición fA y fB, dirigidos desde el punto arbitrario O hasta las fuerzas.

Este concepto es, por tanto, diferente al momento de una fuerza, el cual requiere un punto definido (o eje) con respecto al cual los momentos son determinados.

 

Formulación escalar: El momento de un par, M, es definido poseyendo una magnitud de donde P es la magnitud de una de las fuerzas y d la distancia perpendicular o brazo de momento entre las fuerzas. La dirección y el sentido del momento de par son determinados mediante la regla de la mano derecha, donde el pulgar indica la dirección cuando los dedos son enrollados con el sentido de rotación causado por las dos fuerzas. En todos los casos, M actúa perpendicularmente al plano que contiene esas fuerzas.

 

 

 

 

 

Formulación vectorial: El momento de un par puede expresarse también mediante el vector producto cruz. La aplicación de esta ecuación se recuerda fácilmente si se piensa en tomar los momentos de ambas fuerzas con respecto a un punto que se encuentre sobre la línea de acción de una de las fuerzas.

 

 

 

 

 

Pares equivalentes: Se dice que dos pares son equivalentes si producen el mismo momento. Como el momento producido por un par es siempre perpendicular al plano que contiene las fuerzas del par, es necesario que las fuerzas de pares iguales se encuentren en el mismo plano o en planos que sean paralelos entre sí. De esta manera, la dirección de cada momento de par será la misma, esto es, perpendicular a los planos paralelos.

 

Momento del par resultante: Como los momentos de par son vectores libres, pueden aplicarse en cualquier punto P sobre un cuerpo y ser sumados vectorialmente.

Si más de dos momentos de par actúan sobre el cuerpo, podemos generalizar este concepto y escribir el vector resultante como: